Die Entropie der Brettspielbox. Ein System zur Generierung von Schnittvorlagen für individuelle Inlays

Philipp Jenke 

Einleitung  

Aus der Physik weiß man, dass die Entropie – also der Grad an Unordnung – in einem geschlossenen System in der Regel zunimmt¹. Überspitzt könnte man daraus ableiten, dass eine der Konstanten der Menschheitsgeschichte es seit jeher war, dem entgegenzuwirken: Der Ackerbau brachte Ordnung in das Getreidewachstum, die Kartografie Ordnung in die Navigation und Kallax brachte Ordnung in die Brettspielsammlung. Im Geiste dieser Aufzählung gelangt man schlussendlich zur Informatik, deren Kernaufgabe die Abstraktion und damit die Mustererkennung ist. Wer Muster im Chaos erkennt, macht den ersten Schritt in Richtung Ordnung.  

Auch Brettspieler:innen, insbesondere die Vielspieler:innen komplexer Spielsysteme, beschäftigen sich mit Ordnung; nicht zuletzt mit der (Un-)Ordnung in einer Brettspielbox. Im schlimmsten Fall haben die Einzelteile darin keine Ordnung und fliegen lose durch die Schachtel. Hilfe suggerieren kleine Plastiktütchen. Die Sammlung der Tüten selbst wirkt aber wieder meist ausgesprochen unordentlich. Außerdem nervt das Eintüten. Dass der Wunsch nach mehr Ordnung in der Spielbox allgegenwärtig ist, erkennt man nicht zuletzt an dem breiten Angebot für Brettspiele-Inlays auf dem Markt. Leider sind diese üblicherweise nur für die bekannteren Spiele verfügbar, lassen keinen Freiraum für individuelle Anpassungen und das Preisniveau übersteigt die Materialkosten oft deutlich. Ein Quadratmeter Multiplex-Platte der Stärke 3 mm, aus dem man mit dem vorgeschlagenen System ein komplexes Fachsystem für ein Spiel aus der Größe der Andor-Klasse schneiden könnte, kostet zum Vergleich unter 10 Euro. Findet man einen lokalen Maker-Space mit Lasercutter, reicht mit dem hier vorgeschlagenen System für das Zuschneiden möglicherweise eine Spende in die Kaffeekasse. 

Vorhaben und Theorie 

In diesem Beitrag wird ein System und eine damit umsetzbare Vorgehensweise beschrieben, wie Ordnungssysteme für Boxen maßgeschneidert entworfen und mit Produktionsformen des Rapid Prototyping einfach, kostengünstig und sehr genau hergestellt werden können. Beim Rapid Prototyping kommen unterschiedliche Herstellungsverfahren zum Einsatz, die sich durch kostengünstigen Einsatz, schnelle Umsetzung und einfache Bedienung auszeichnen. Beispiele sind der 3D-Druck oder das Laser-Cutting. Den Kern des Systems bildet die hierarchische Raumunterteilung einer zweidimensionalen Grundfläche. Diese Unterteilung legt das Layout für das Inlay fest, das dann algorithmisch in eine zweieinhalbdimensionale Repräsentation mit Trennwänden und deren Verbindungen überführt wird. Anschließend kann daraus ein physisches Produkt hergestellt werden.  

Die Erstellung eines Inlays setzt sich aus den folgenden Teilschritten zusammen: 

1. Bestandsaufnahme: Messen des verfügbaren Volumens und Ermittlung des Bedarfs an Teilräumen  

2. Layout: Interaktives Modellieren eines Layouts 

3. Produktion: Überführen des CAD-Modells (Computer Aided Design: rechnerunterstütztes Konstruieren) in eine physische Repräsentation durch Schneiden (CNS-Fräse, Laser-Cutter, manuell) oder 3D-Drucken 

Das Herzstück des Systems ist eine mathematisch-formale Beschreibung der Unterteilung und darauf aufbauend ein Modellierungsansatz. Die Modellierung wird zweidimensional vorgenommen, obwohl im Ergebnis ein dreidimensionales Volumen befüllt wird. Dazu werden Räume, von der Grundfläche des Volumens ausgehend, schrittweise hierarchisch unterteilt. Die Literatur hält für die Unterteilung von Räumen eine Vielzahl von Ansätzen bereit, beispielsweise die Unterteilung durch Kugeln², durch Würfel³ oder mithilfe von Trennungshyperebenen⁴. Da die Trennungsstrukturen später zu den Seitenwänden des Inlays werden, bieten sich Hyperebenen an. Während eine Hyperebene mathematisch eine unendliche Ausdehnung hat, stellt sie hier ein Trennungssegment dar, das durch den Rand des zu trennenden Raumes begrenzt wird. Wir beschränken uns auf achsenparallele Raumbegrenzungen und Trennungsebenen. Die Grundfläche spannen wir durch die x- und z-Achse auf, während die y-Achse die Höhenrichtung in dem Kartesischen Koordinatensystem angibt (Abbildung 2, links). Die Trennungsebenen unterteilen einen Raum demnach immer entlang der x- oder der z-Achse.  

 

 

 

 

 

Abbildung 2 Koordinatensystem für die mathematisch-formale Beschreibung des Inlays (links) und Baumstruktur der Teilräume eines Inlays (rechts). 

Wir legen die Größe eines Raumes durch vier Parameter fest: die minimalen und maximalen x- und z-Koordinaten x_min, z_min, x_max und z_max. Im Vergleich zu einer rein mathematischen Raumunterteilung muss aber bedacht werden, dass die Trennungswände eine Ausdehnung δ haben. δ ist dabei die Dicke des bei der Produktion verwendeten Materials. Damit verringert sich die Fläche jedes Raumes um δ auf (x_max – x_min – δ) x (z_max – z_min – δ). Die Hierarchie der Räume bildet eine Baumstruktur (Abbildung 2, rechts), genauer einen Binärbaum. Dabei handelt es sich um einen Baum, bei dem jeder Knoten keinen oder zwei Kindknoten hat. Die Blattknoten sind dabei die nicht weiter unterteilten Räume, der Wurzelknoten ist der initiale Raum, der die gesamte Grundfläche des Inlays beschreibt. Die inneren Knoten des Baumes haben je zwei Kinder und eine Trennungshyperebene. Diese wird durch die Trennungsrichtung (x oder z) und durch den Trennungswert δ aus [x_min + δ, x_max – δ] (z analog) festgelegt. Das Offset um δ ist notwendig, damit die Verbindungen zwischen den Seitenwänden später bei der Produktion umgesetzt werden können. 

Beim Generieren von Schneidevorlagen für Laser-Cutter und CNC-Fräsen haben sich für die Verbindungen Keilzinken als Quasi-Standard etabliert. Dieser Verbindungstyp zeichnet sich dadurch aus, dass die verbundenen Elemente sich ähnlich wie Klemmbausteine oder Puzzleteile ineinanderstecken lassen. Damit ist zum einen die Positionierung entlang der Verbindungskante eindeutig und zum anderen die Verbindung verstärkt. Für die Generierung der Verbindungen wird aus der hierarchischen Raum-Datenstruktur zusätzlich ein planarer Graph G generiert. In G sind die Knoten die Trenn- und Außenwände. Die Kanten repräsentieren die Verbindungen. Zu unterscheiden sind dabei Verbindungen am Rand (z. B. zwischen zwei Außenwänden) und Verbindungen innen (z. B. zwischen einer inneren Trennwand und einer Außenwand). Bei den Verbindungen am Rand müssen an den beiden verbundenen Teilen zueinander passende Zinken in die Schnittkante der Silhouette eingepasst werden. Bei den inneren Verbindungen hat ein Teil Zinken in der Silhouette, das andere Teil dazu passende Aussparungen im Inneren (Abbildung 3). Das Ergebnis dieses Schrittes ist eine Silhouette für jedes Außen- und Innenteil inklusive der notwendigen Zinkenmuster und Aussparungen. Die Ziellänge für die Zinken ist ein Eingabeparameter des Algorithmus. Allerdings wird die tatsächliche Zinkenlänge für jedes Verbindungssegment so berechnet, dass alle Zinken der Verbindung die gleiche Länge haben. Außerdem wird sichergestellt, dass es pro Verbindung immer mindestens drei Zinken gibt. 

Sowohl für die Visualisierung des Ergebnisses als auch für den Volumenexport (etwa für einen 3D-Druck) muss das Inlay in ein Volumenmodell überführt werden. Eine typische und hier verwendete Repräsentation basiert dabei auf einer Unterteilung in Dreiecke. Dreiecke und daraus gebildete Dreiecksnetze bilden sehr häufig die Basis für Oberflächenbeschreibungen von 3D-Modellen. Grund dafür sind die einfache Struktur eines Dreiecks (die drei Eckpunkte definieren im Prinzip immer eine Ebene) und die sehr guten Approximationseigenschaften von Dreiecksnetzen (Fehler im Vergleich zu einer entsprechenden gekrümmten Oberfläche). Die Kanten der 3D-Modelle für jedes Teil des Inlays ergeben sich aus der Verschiebung der Silhouette, einmal um -/2 und einmal um +/2 in Normalenrichtung der Silhouette. Die Normale zeigt hier senkrecht aus der Silhouettenebene heraus. Dann werden die Silhouetten mit dem Ear-Cutting-Algorithmus mit Löchern, basierend auf dem 2-Ears-Theorem⁵, trianguliert (Abbildung 3). Dieses besagt, dass es in einem Polygon immer zwei Punkte gibt, die man durch Verbinden der jeweiligen Nachbarpunkte „wegschneiden“ kann und dabei Dreiecke entfernt, die das restliche Polygon nicht überlappen. Bei diesem Triangulierungsschritt muss die Orientierung der Dreiecke einer der beiden Silhouetten invertiert werden, um eine konsistente Orientierung aller Dreiecke des Volumenmodells zu erhalten. Die beiden Triangulierungen werden außerdem an benachbarten Punkten ihrer Außenpolygone mit je zwei Dreiecken verbunden, um das Volumen wasserfest zu verschließen. 

Anwendung in der Praxis 

Das beschriebene System wurde nicht nur als theoretische Machbarkeitsstudie entwickelt, sondern soll auch als App praktisch zum Einsatz kommen. Dazu muss die Software einfach zu verbreiten und vor allem einfach zu bedienen sein. Bisher existiert ein Prototyp als Desktop-Anwendung. Eine Umsetzung als Smartphone-App ist in Arbeit (www.codedreieck.de). Besonderes Augenmerk wird dabei auf die Benutzerfreundlichkeit, insbesondere durch Reduktion gelegt: Die Modellierung des Layouts beschränkt sich auf das Verschieben der Trennungsebenen in einer 2D-Darstellung. Dabei stellt die Software sicher, dass keine ungültigen Konfigurationen modellierbar sind, die sich später nicht physisch produzieren lassen. Mit lediglich drei Operationen lassen sich alle Konfigurationen erstellen: Unterteilung eines Raumes in x- und z-Achse sowie das Entfernen einer Unterteilung und damit aller Kindteilräume (siehe Abbildung 1.d). Als Exportformate sind das Portable Document Format (PDF, Darstellung des Layouts zur Qualitätssicherung), das Scalable Vector Graphics Format (SVG für die CAD-Zeichnungen der Silhouetten) und das Standard Triangle Language Format (STL, Volumen-Export) umgesetzt. Diese werden von fast allen gängigen entsprechenden Ausgabe- und Rapid Prototyping-Systemen unterstützt. Falls kein Zugang zu einem Laser-Cutter, einer CNC-Fräse oder einem 3D-Drucker besteht, können passende Anbieter in lokalen Maker-Spaces oder bei Internetdienstleistern gefunden werden. Die Silhouetten können aber auch auf Materialen wie Leichtschaumplatten übertragen und selbst ausgeschnitten werden. 

Insgesamt steht mit dem beschriebenen System bereits ein mächtiges Werkzeug zur Verfügung. Dieses, so die Hoffnung des Autors, kann in Form einer mobilen Anwendung einfach durch Ausprobieren und Herumspielen erlernt und dann unmittelbar für die eigenen Zwecke eingesetzt werden. Die Unterstützung verschiedener Produktionsformen (Laser-Cutter, CNC-Fräse, 3D-Druck, manuelles Ausschneiden) nährt die Hoffnung, dass eine passende Produktionsform für jede Anwender:in verfügbar ist.  

Es ist eine ganze Reihe von Erweiterungen denkbar, die auf dem beschriebenen Kern aufbauen. So ließen sich in die Außen- und Trennwände Einkerbungen setzen, um einfacher nach dem Inhalt eines Teilraumes greifen zu können. Auch klingt es spannend, die strikte Anforderung aufzuweichen, dass Räume und Trennungshyperebenen immer achsenparallel und planar sein müssen. Dann ließen sich vielfältigere Layouts, etwa mit Hex-Strukturen modellieren. Ein weiterer interessanter Untersuchungsgegenstand ist die Automatisierung des Layoutens. Damit reichte es, wenn die Anwender:in die Anzahl und Größe der Teilräume angäbe, und ein Algorithmus könnte selbständig ein passendes Layout entwerfen. Diese Fragestellung ist allerdings eng verwandt mit dem in der theoretischen Informatik als äußerst komplex eingestuften Bin-Packing-Problem (Korte/Vygen 2006). 

Bibliografie:

Baehr / Kabelac 2012: Hans Dieter Baehr / Stephan Kabelac, Thermodynamik: Grundlagen und technische Anwendungen, Berlin / Heidelberg ¹²2012, S. 93-176.

Fuchs [u.a.] 1980: Henry Fuchs [u. a.], On Visible Surface Generation by A Priori Tree Structures. In SIGGRAPH ’80 Proceedings, New York 1980, S. 124-133.

Korte / Vygen 2006: Bernhard Korte / Jens Vygen, “Bin-Packing”. Combinatorial Optimization: Theory and Algorithms. Algorithms and Combinatorics 21 (2006), S. 426-441.

Meagher 1980: Donald Meagher, Octree Encoding: A New Technique for the Representation, Manipulation and Display of Arbitrary 3-D Objects by Computer, Rensselaer Polytechnic Institute (Technical Report IPL-TR-80-111), 1980.

Meisters 1980: G. H. Meisters, Principal vertices, exposed points, and ears, American Mathematical Monthly, 87.4 (1980), S. 284-285.

Quinlan 1994: S. Quinlan, Efficient Distance Computation between Non-Convex Objects, in: IEEE International Conference on Robotics and Automation, 1994, S. 3324-3329.

Zitierempfehlung: Philipp Jenke, Die Entropie der Brettspielbox. Ein System zur Generierung von Schnittvorlagen für individuelle Inlays, Boardgame Historian 2021, URL: bghistorian.hypotheses.org/1402

Philipp Jenke ist Professor für Softwareentwicklung an der Hochschule für Angewandte Wissenschaften (HAW) Hamburg. Nach seinem Medieninformatik-Studium in Tübingen, Kalifornien und Saarbrücken beschäftigte er sich während seiner Promotion mit der Computergrafik und darin insbesondere mit der statistisch motivierten Geometrieverarbeitung. Im Anschluss leitete er ein kleines Softwareentwicklungsteam bis er 2013 wieder in die akademische Welt zurückkehrte. 

Seine Karriere als Brettspieler begann verheißungsvoll in den frühen Neunzigern, unter anderem mit Risiko, der Claymore Saga und Schach. Nach einer mehrere Jahrzehnte währenden Pause, ist er nun kürzlich – dafür umso intensiver – in die Welt der Brettspiele abgetaucht. 

1. Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik, vgl. Baehr / Kabelac 2012. [↩]
2. Quinlan 1994. [↩]
3. Meagher 1980. [↩]
4. Fuchs [u. a.] 1980. [↩]
5. Meisters 1980. [↩]

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